Біофізика і біомеханіка - В. С. Антонюк - 2012

Розділ 4. БІОФІЗИКА СКЛАДНИХ БІОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ

4.1.Математичне моделювання складних біологічних систем

4.1.2.Модель «хижак-жертва»

Нехай в деякому просторі живуть два види особин: зайці (жертви) та рисі (хижаки). Зайці харчуються рослинною їжею, що є завжди в достатній кількості (між ними немає внутрішньовидової боротьби). Рисі можуть харчуватися тільки зайцями.

Уведемо величини: х - кількість жертв у момент часу t; у - кількість хижаків у момент часу t.

Рівняння балансу між чисельністю народжених і загиблих особин:

- жертви: dx/dt = ух (швидкість розмноження) - σх (швидкість природної загибелі) - аху (швидкість загибелі через зустріч з хижаком);

- хижаки: dy/dt = δху (швидкість розмноження) - βу (швидкість природної загибелі);

У результаті розв’язання, чисельність особин за малих відхилень від стаціонарних значень становить:

Таким чином, чисельність популяцій х і у зазнають гармонічних коливань відносно стаціонарних значень з однаковою частістю, але зсунуті за фазою на φ₀. Синусоїдне розв’язання можливе лише за малих відхилень U і V від стаціонарних значень. У разі великих відхилень закон не буде гармонізованим. Проте така модель цілком адекватна дійсності: зі збільшенням численності хижаків відбувається зменшення їх жертв і навпаки з однаковою частотою ці явища спостерігається зі зсувом за фазою.

Модель «хижак-жертва» використовують у медицині [66]. Так, під час моделювання онкологічних захворювань пухлинні клітини розглядають як жертви, а лімфоцити, які можуть їх пригнічувати, - як хижаки. У цьому випадку моделювання дозволяє здобути нові знання про процеси міжклітинної взаємодії у разі патології, знаходити оптимальну стратегію лікування, створювати нові засоби боротьби з ними.